Stipendikirjoitus: Väärät numerot

13.1.2017

Kuvassa stipendin saaja yhdessä opinahjoistaan, Universität Regensburgissa. Taustalla näkyy yliopiston päällekäyvän upeaa brutalistista arkkitehtuuria. Kuva: Martti Kainulainen
Kuvassa stipendin saaja yhdessä opinahjoistaan, Universität Regensburgissa. Taustalla näkyy yliopiston päällekäyvän upeaa brutalistista arkkitehtuuria. Kuva: Martti Kainulainen

Väänästen sukuseuran stipendiaatti Mikko Kainulaisen stipendikirjoitus.

Väärät numerot

Numerot hallitsevat niin taloutta, tiedettä ja politiikkaa kuin Väänästen sukupuu -lehden sivujakin. Monelle meistä on kuitenkin varsin epäselvää, mitä numerot oikeastaan ovat. Siksi meidän on vaikea ymmärtää yhteiskuntamme prosesseja ja olemusta. Tämänsuuntainen, filosofi Alain Badiounkin esittämä ajatus inspiroi minua tutkimaan kasvatustieteen Pro gradu -tutkielmassani numerokäsitteen kehitystä. Tutkimuksessani tarkastelin sitä, kuinka alakoululaiset oppivat rationaalilukujen joukkoon kuuluvia desimaali- ja murtolukuja.

Rationaaliluvut ovat hyvä esimerkki yllä mainitun ongelman toteutumisesta käytännössä. Useissa aiemmissa tutkimuksissa on todettu niin nuorilla kuin aikuisillakin olevan huomattavia vaikeuksia tämän kolmannelta luokalta asti opetettavan sisällön ymmärtämisessä.

Oppimisen näkökulmasta rationaaliluvut ovatkin haasteellinen aihealue. Voidaan ajatella, että ne vaativat oppijalta niin kutsuttua käsitteellistä muutosta. Tällaisissa oppimisprosesseissa oppilas ei voi muodostaa uutta käsitystä (rationaaliluvuista) aiemman käsityksen (kokonaisluvuista) perustalle, sillä nämä kaksi ovat keskenään yhteensovittamattomia. Usein käsitteellistä muutosta vaativa oppiminen onkin hidasta, ja sen prosessissa oppijoille syntyy erilaisia virheellisiä käsityksiä. Rationaalilukujen tapauksessa tällaisesta käy esimerkiksi niin aikuisten kuin lastenkin tapa soveltaa kokonaislukujen sääntöjä luvun suuruudesta (esim. 1<2) tulkitessa murtolukuja, joissa osoittaja ja nimittäjä toimivat keskenään erilaisten periaatteiden mukaan.

Gradussani analysoin pitkittäisaineistoa 3.-6. luokkalaisten murto- ja desimaalilukuosaamisesta. Yhteensä 251 oppilasta teki testin kolmeen otteeseen vuoden mittaisen ajanjakson aikana. Luokittelin oppilaiden testivastaukset sen mukaan, osoittivatko he rationaalilukujen ymmärrystä vai eivät, ja jos eivät, niin sovelsivatko he kokonaislukujen logiikkaa vastauksissaan rationaaliluvuista.

Yhdessä erikoistutkija Jake McMullenin analysoimme oppilaiden vastauksia Latent Class Analysis -menetelmällä, jossa aineistosta pyritään löytämään piileviä alaryhmiä. Pyrimme löytämään oppilaiden erilaisia tapoja ymmärtää murto- ja desimaalilukuja. Löysimme niitä viisi kappaletta. Tässä joukossa oli muun muassa matemaattisesti oikeiden sääntöjen soveltaminen sekä kokonaislukujen sääntöjen soveltaminen rationaalilukuihin.

Käytimme myös Latent Transition Analysis -menetelmää selvittääksemme, millaisia kehityskulkuja oppilaiden käsityksissä on havaittavissa vuoden aikana. Löysimme useita erilaisia polkuja, joita pitkin oppilaiden numerokäsitteet kehittyvät. Näistä poluista paljastui, että tapa soveltaa kokonaislukujen sääntöjä rationaalilukuihin on syvälle juurtunut ja hitaasti muuttuva.

Analyysista selvisi myös, etteivät tällaisen käsityksen omaavat oppilaat juurikaan kehity suoraan matemaattisesti oikeaan tapaan ymmärtää rationaaliluvut, vaan ennemminkin johonkin muuhun virheelliseen käsitykseen, joka joillekin toimii eräänlaisena siirtymäkäsityksenä ennen matemaattisesti oikeaa käsitystä.

Löydöksiä voi soveltaa oppimisen ja opettamisen käytäntöön mm. antamalla huomattavaa painoarvoa “väärien vastausten” laadulle. Etenkin käsitteellistä muutosta vaativassa oppimisessa on ensisijaisen tärkeää kohdistaa katse vääriin vastauksiin ja niiden piirteisiin, sillä ne voivat kertoa paljon oppimisprosessin vaiheista. Joskus oikeanlainen väärä vastaus voi olla merkki huomattavasta kehityksestä toivottuun suuntaan.

Tein graduni osana professori Erno Lehtisen johtamaa ja Suomen Akatemian rahoittamaa Cultivating Future Mathematical Minds -projektia, jossa työskentelin myös opintojeni päätyttyä. Yhdessä McMullenin ja Lehtisen kanssa jatkoimme työtä graduni pohjalta, ja kirjoitimme aiheesta tutkimusartikkelin, joka julkaistiin Cognition and Instruction -tiedelehdessä nimellä ”Early Developmental Trajectories Toward Concepts of Rational Numbers”. Haluan kiittää Väänästen sukuseuraa saamastani stipendistä. Sen turvin kykenin keskittymään huomattavan hyvin gradutyöskentelyyn ja tekemään muutamia tarvittavia kirjahankintoja. Tällä hetkellä työskentelen Turun yliopiston opettajankoulutuslaitoksella tehden kasvatustieteen väitöskirjaa historiaan ja sen tutkimiseen liittyvän asiantuntijuuden kehittymisestä.

 

Mikko Kainulainen